Тест по математике, 12 класс: Первообразная. Неопределенный интеграл

Задания

1. 15 б.
   Каково множество всех первообразных функции $f: ℝ \to ℝ$, $f(x) = 3x^{2} - 4x + 1$?
   • A)$x^{3} - 2x^{2} + x + C, C \in ℝ$
   • B)$6x - 4 + C, C \in ℝ$
   • C)$3x^{3} - 4x^{2} + x + C, C \in ℝ$
   • D)$x^{3} - 4x^{2} + x + C, C \in ℝ$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $x^{3} - 2x^{2} + x + C, C \in ℝ$

2. 25 б.
   Вычислите неопределённый интеграл $∫ \frac{1}{\cos^{2} x} \, dx$ на промежутке $-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}$.
   • A)$-\mathrm{ctg} \, x + C$
   • B)$\mathrm{tg} \, x + C$
   • C)$\frac{1}{\sin^{2} x} + C$
   • D)$-\mathrm{tg} \, x + C$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: B) $\mathrm{tg} \, x + C$

3. 35 б.
   Значение определённого интеграла $∫_{0}^{2} (x^{3} - 1) \, dx$ равно:
   • A)$2$
   • B)$4$
   • C)$0$
   • D)$6$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $2$

4. 45 б.
   Площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции $f(x) = x^{2}$, осью $Ox$ и прямыми $x = 0$, $x = 3$, равна:
   • A)$3$
   • B)$9$
   • C)$27$
   • D)$18$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: B) $9$

5. 55 б.
   Число перестановок множества $A = \{1, 2, 3, 4\}$ равно:
   • A)$12$
   • B)$16$
   • C)$24$
   • D)$64$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: C) $24$

6. 65 б.
   Каким по счёту является член разложения бинома $(x + 1)^{5}$, представляющий собой свободный член (не содержащий $x$), если разложение записано по убывающим степеням $x$?
   • A)4-й член
   • B)5-й член
   • C)6-й член
   • D)3-й член
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: C) 6-й член

7. 75 б.
   Свойство линейности определённого интеграла утверждает, что $∫_{a}^b [f(x) + g(x)] \, dx = ∫_{a}^b f(x) \, dx + ∫_{a}^b g(x) \, dx$ для любых интегрируемых функций $f, g: [a, b] \to ℝ$.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: Верно

8. 85 б.
   Для чисел сочетаний выполняется соотношение $C_{n}^k = C_{n}^{n-k}$ для любых $n, k \in ℕ$, где $0 \le k \le n$.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: Верно

9. 95 б.
   Вычислите сумму биномиальных коэффициентов разложения $(a + b)^{4}$, то есть $C_{4}^{0} + C_{4}^{1} + C_{4}^{2} + C_{4}^{3} + C_{4}^{4}$.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: 16

10. 105 б.
    Определите значение определённого интеграла $∫_{1}^e \frac{1}{x} \, dx$.
    Ответ и критерии оценивания

    Ответ: 1