Тест по математике, 11 класс: Перпендикулярность в пространстве

Задания

1. 15 б.
   Каково общее уравнение прямой, проходящей через точку $A(2, -3)$ и параллельной прямой, заданной уравнением $d: 4x - 2y + 5 = 0$?
   • A)$2x - y - 7 = 0$
   • B)$2x - y + 7 = 0$
   • C)$x + 2y + 4 = 0$
   • D)$2x + y - 1 = 0$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $2x - y - 7 = 0$

2. 25 б.
   Из точки $A$, лежащей вне плоскости $α$, проведены перпендикуляр $AO = 6 cm$ к плоскости и наклонная $AB = 10 cm$. Какова длина проекции $OB$ наклонной на плоскость $α$?
   • A)$8 cm$
   • B)$4 cm$
   • C)$2\sqrt{34} cm$
   • D)$16 cm$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $8 cm$

3. 35 б.
   Найдите расстояние от точки $P(1, 4)$ до прямой, заданной уравнением $3x + 4y - 4 = 0$, в декартовой плоскости.
   • A)$3$
   • B)$5$
   • C)$\frac{15}{4}$
   • D)$4$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $3$

4. 45 б.
   В ортогональной системе координат в пространстве $Oxyz$ каковы координаты точки, симметричной точке $M(3, -2, 5)$ относительно координатной плоскости $Oxy$?
   • A)$M'(3, -2, -5)$
   • B)$M'(-3, 2, 5)$
   • C)$M'(-3, -2, 5)$
   • D)$M'(3, 2, -5)$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $M'(3, -2, -5)$

5. 55 б.
   Прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB = 3 cm$ и $AC = 4 cm$ расположен так, что его гипотенуза $BC$ лежит в плоскости $α$. Проекцией вершины $A$ на плоскость $α$ является точка $A'$, а длина отрезка $AA'$ равна $\frac{6}{5} cm$. Величина двугранного угла, образованного плоскостью треугольника и плоскостью $α$, равна:
   • A)$30^\circ$
   • B)$45^\circ$
   • C)$60^\circ$
   • D)$90^\circ$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $30^\circ$

6. 65 б.
   Дана прямая $d_{1}$, заданная уравнением $y = 2x + 1$. Каков угловой коэффициент прямой $d_{2}$, перпендикулярной прямой $d_{1}$?
   • A)$-\frac{1}{2}$
   • B)$\frac{1}{2}$
   • C)$-2$
   • D)$2$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $-\frac{1}{2}$

7. 75 б.
   Если две различные прямые в пространстве перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: Верно

8. 85 б.
   Параллельный перенос в пространстве — это геометрическое преобразование, изменяющее расстояние между любыми двумя точками (не является изометрией).
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: Неверно

9. 95 б.
   Определите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $A(1, 3)$ и $B(4, 9)$.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: 2

10. 105 б.
    Из точки, расположенной на расстоянии $12 cm$ от плоскости, проведена наклонная, образующая с плоскостью угол $30^\circ$. Найдите длину этой наклонной (в $cm$).
    Ответ и критерии оценивания

    Ответ: 24