Тест по математике, 11 класс: Последовательности действительных чисел

Задания

1. 15 б.
   Чему равен предел последовательности $a_{n} = \frac{3n^{2} - 2n + 1}{5n^{2} + 4n - 3}$ при $n \to \infty$?
   • A)$\frac{3}{5}$
   • B)$0$
   • C)$+\infty$
   • D)$-\frac{1}{3}$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $\frac{3}{5}$

2. 25 б.
   Вычислите предел последовательности действительных чисел $b_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{2n}$ при $n \to \infty$.
   • A)$e$
   • B)$e^{2}$
   • C)$\sqrt{e}$
   • D)$1$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: B) $e^{2}$

3. 35 б.
   Вычислите значение предела функции $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{2x}$.
   • A)$1$
   • B)$2$
   • C)$4$
   • D)$0$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: B) $2$

4. 45 б.
   Рассмотрим функцию $f: ℝ \setminus \{3\} \to ℝ$, $f(x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$. Чему равно значение предела $\lim_{x \to 3} f(x)$?
   • A)$0$
   • B)$3$
   • C)$6$
   • D)Не существует
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: C) $6$

5. 55 б.
   Пусть дана дифференцируемая функция $f: ℝ o ℝ$, заданная формулой $f(x) = x \cdot e^x$. Определите значение производной $f'(1)$.
   • A)$e$
   • B)$2e$
   • C)$0$
   • D)$e^{2}$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: B) $2e$

6. 65 б.
   Определите точки локального экстремума функции $f: ℝ o ℝ$, $f(x) = x^{3} - 3x$.
   • A)$x = -1$ — точка локального максимума, а $x = 1$ — точка локального минимума
   • B)$x = 0$ — точка локального минимума, а $x = 3$ — точка локального максимума
   • C)$x = 1$ — точка локального максимума, а $x = -1$ — точка локального минимума
   • D)Функция не имеет точек локального экстремума
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $x = -1$ — точка локального максимума, а $x = 1$ — точка локального минимума

7. 75 б.
   Если функция $f: [a, b] o ℝ$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и удовлетворяет условию $f(a) \cdot f(b) < 0$, то существует по крайней мере одна точка $c \in (a, b)$ такая, что $f(c) = 0$.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: Верно

8. 85 б.
   Если функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}$, то она обязательно дифференцируема в точке $x_{0}$.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: Неверно

9. 95 б.
   Вычислите значение предела $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: 4

10. 105 б.
    Определите угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = x^{2} - 4x + 5$ в точке с абсциссой $x_{0} = 3$.
    Ответ и критерии оценивания

    Ответ: 2