Тест по математике, 12 класс: Многочлены с комплексными коэффициентами*

Задания

1. 15 б.
   Пусть дан многочлен $P(X) = X^{3} - 3X^{2} + 4X - 12 \in ℂ[X]$. Известно, что $x_{1} = 2i$ является корнем многочлена $P(X)$. Каковы остальные корни этого многочлена?
   • A)$-2i$ и $3$
   • B)$2i$ и $-3$
   • C)$-2i$ и $-3$
   • D)$2$ и $3i$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $-2i$ и $3$

2. 25 б.
   Пусть дан многочлен $P(X) = X^{3} - 6X^{2} + 11X - 6 \in ℂ[X]$ с корнями $x_{1}, x_{2}, x_{3}$. Чему равно значение выражения $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}}$?
   • A)$\frac{6}{11}$
   • B)$\frac{11}{6}$
   • C)$6$
   • D)$-\frac{11}{6}$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: B) $\frac{11}{6}$

3. 35 б.
   Сфера описана около куба с ребром длиной $a = 4 cm$. Чему равен радиус $R$ этой сферы?
   • A)$2\sqrt{3} cm$
   • B)$4\sqrt{3} cm$
   • C)$2\sqrt{2} cm$
   • D)$4 cm$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $2\sqrt{3} cm$

4. 45 б.
   Прямой круговой цилиндр вписан в сферу радиуса $R = 5 cm$. Известно, что высота цилиндра равна $h = 8 cm$. Чему равен радиус $r$ основания цилиндра?
   • A)$4 cm$
   • B)$3 cm$
   • C)$\sqrt{41} cm$
   • D)$2.5 cm$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: B) $3 cm$

5. 55 б.
   Каков остаток от деления многочлена $P(X) = X^{100} + X^{50} + 1$ на многочлен $Q(X) = X^{2} + 1$ в $ℂ[X]$?
   • A)$X + 1$
   • B)$0$
   • C)$1$
   • D)$-1$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: C) $1$

6. 65 б.
   Прямой круговой конус имеет радиус основания $r = 6 cm$ и образующую $g = 10 cm$. Чему равен радиус $R$ сферы, описанной около этого конуса?
   • A)$6.25 cm$
   • B)$5 cm$
   • C)$8 cm$
   • D)$7.5 cm$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $6.25 cm$

7. 75 б.
   Если многочлен $P(X) \in ℝ[X]$ имеет комплексный корень $z = 1 + 2i$, то он обязательно имеет и сопряжённый корень $\bar{z} = 1 - 2i$.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: Верно

8. 85 б.
   В сфере радиуса $R$ объём вписанного в неё куба больше объёма сферы.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: Неверно

9. 95 б.
   Пусть дан многочлен $P(X) = X^{4} - 4X^{3} + 6X^{2} - 4X + 1 \in ℂ[X]$. Вычислите числовое значение $P(i + 1)$.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: 1

10. 105 б.
    Прямой круговой цилиндр описан около сферы радиуса $R = 3 cm$ (сфера касается обоих оснований и боковой поверхности цилиндра). Вычислите объём цилиндра, делённый на $π$.
    Ответ и критерии оценивания

    Ответ: 54