Тест по математике, 11 класс: Кривые второго порядка*

Задания

1. 15 б.
   Каково каноническое уравнение эллипса с полуосями $a = 5$ и $b = 3$?
   • A)$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
   • B)$\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$
   • C)$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$
   • D)$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

2. 25 б.
   Рассмотрим параболу, заданную уравнением $y^{2} = 8x$. Каковы координаты фокуса этой параболы?
   • A)$F(4, 0)$
   • B)$F(2, 0)$
   • C)$F(0, 2)$
   • D)$F(-2, 0)$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: B) $F(2, 0)$

3. 35 б.
   Эксцентриситет гиперболы задаётся формулой $e = \frac{c}{a}$. Какое из следующих утверждений верно для любой гиперболы?
   • A)$e = 1$
   • B)$0 < e < 1$
   • C)$e > 1$
   • D)$e = 0$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: C) $e > 1$

4. 45 б.
   Каково уравнение окружности с центром в точке $C(2, -3)$ и радиусом $R = 4$?
   • A)$(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$
   • B)$(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$
   • C)$(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 4$
   • D)$(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: A) $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$

5. 55 б.
   Уравнения асимптот гиперболы $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$, заданной каноническим уравнением, имеют вид:
   • A)$y = \pm \frac{4}{3} x$
   • B)$y = \pm \frac{3}{4} x$
   • C)$y = \pm \frac{9}{16} x$
   • D)$y = \pm \frac{16}{9} x$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: B) $y = \pm \frac{3}{4} x$

6. 65 б.
   Фокусное расстояние (длина отрезка между двумя фокусами $2c$) эллипса $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ равно:
   • A)$3$
   • B)$6$
   • C)$8$
   • D)$10$
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: B) $6$

7. 75 б.
   Для параболы, заданной уравнением $x^{2} = 4y$, директриса имеет уравнение $y = -1$.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: Верно

8. 85 б.
   Если эксцентриситет кривой второго порядка равен $e = 0$, то эта кривая является гиперболой.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: Неверно

9. 95 б.
   Вычислите значение половины фокусного расстояния $c$ для эллипса, заданного уравнением $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$.
   Ответ и критерии оценивания

   Ответ: 6

10. 105 б.
    Запишите уравнение директрисы параболы $y^{2} = 12x$.
    Ответ и критерии оценивания

    Ответ: x=-3 · x = -3