Тест по математике, 12 класс: Определённый интеграл. Приложения

Question 1

Пусть f — непрерывная функция на промежутке [a,b], а F — её первообразная. Выберите формулу Ньютона–Лейбница. A) ∈tₐ^b f(x) dx=F(a)-F(b); B) ∈tₐ^b f(x) dx=F(b)-F(a); C) ∈tₐ^b f(x) dx=F(b)+F(a); D) ∈tₐ^b f(x) dx=f(b)-f(a)

Accepted Answer

B) ∈tₐ^b f(x) dx=F(b)-F(a)

Question 2

Пусть f — непрерывная функция на [a,b], где a<b. Выберите верное соотношение при перестановке пределов интегрирования. A) ∈t_b^a f(x) dx=∈tₐ^b f(x) dx; B) ∈t_b^a f(x) dx=0; C) ∈t_b^a f(x) dx=-∈tₐ^b f(x) dx; D) ∈t_b^a f(x) dx=|∈tₐ^b f(x) dx|

Accepted Answer

C) ∈t_b^a f(x) dx=-∈tₐ^b f(x) dx

Question 3

Функция f непрерывна и неотрицательна на [a,b], где a<b. Какая формула выражает площадь S её подграфика на этом промежутке? A) S=∈tₐ^b f(x) dx; B) S=-∈tₐ^b f(x) dx; C) S=∈tₐ^b [f(x)]² dx; D) S=π∈tₐ^b [f(x)]² dx

Accepted Answer

A) S=∈tₐ^b f(x) dx

Question 4

Функция f непрерывна и неотрицательна на [a,b], где a<b. Выберите формулу объёма V тела, полученного вращением её подграфика вокруг оси Ox. A) V=π∈tₐ^b f(x) dx; B) V=2π∈tₐ^b f(x) dx; C) V=∈tₐ^b [f(x)]² dx; D) V=π∈tₐ^b [f(x)]² dx

Accepted Answer

D) V=π∈tₐ^b [f(x)]² dx

Question 5

Установите истинность утверждения: для любой функции f, непрерывной на [a,b], и любого c∈(a,b) выполняется равенство ∫ₐ_^_b__f₍ₓ₎__,_dₓ₌_ᵢₙₜ__ₐ_^_c__f₍ₓ₎__,_dₓ₊_ᵢₙₜ___c_^_b__f₍ₓ₎__,_dₓ.

Accepted Answer

Верно

Question 6

Установите истинность утверждения: если f непрерывна на [a,b], где a<b, то ∫ₐ_^_b_₃_f₍ₓ₎__,_dₓ₌_ᵢₙₜ__ₐ_^_b__f₍ₓ₎__,_dₓ₊₃.

Accepted Answer

Неверно

Question 7

Пусть F — первообразная непрерывной функции f на промежутке [a,b]. Дополните равенство из формулы Ньютона–Лейбница соответствующим выражением: ∫ₐ^b f(x) dx = ………… …………

Accepted Answer

F(b)-F(a) · [F(x)]ₐ^b · .F(x)|ₐ^b

Question 8

Вычислите и запишите ответ: ∫₀² (3x²+1) dx = ………… …………

Accepted Answer

10

Question 9

Вычислите и запишите ответ: ∫₀^lⁿ^³ eˣ dx = ………… …………

Accepted Answer

2

Question 10

Вычислите определённый интеграл I=∫₀¹xeˣ dx, используя интегрирование по частям.

Accepted Answer

I=1. — 12 б.: Правильно выбирает элементы интегрирования по частям, применяет формулу с заданными пределами и получает верный результат. | 8 б.: Правильно получает соотношение I=[xeˣ]₀¹-∈t₀¹eˣ dx, но дальнейшее вычисление отсутствует или неверно. | 4 б.: Правильно указывает u=x, dv=eˣ dx, du=dx и v=eˣ, но не применяет формулу интегрирования по частям или применяет её неверно. | 0 б.: Не приводит ни одного верного существенного шага или не отвечает.

Question 11

Рассматриваются функции f(x)=x и g(x)=x² на промежутке [0;1]. Вычислите площадь области, заключённой между их графиками на этом промежутке, и объём тела, полученного вращением этой области вокруг оси абсцисс.

Accepted Answer

A=1/6; V=2π/15. — 14 б.: Правильно определяет взаимное расположение графиков функций, записывает соответствующие интегралы и верно вычисляет как площадь, так и объём. | 10 б.: Правильно записывает оба интеграла и верно вычисляет одну из двух величин; для другой вычисление неполное или содержит ошибку. | 7 б.: Верно вычисляет одну из двух величин с обоснованием, но не записывает верный интеграл для другой. | 4 б.: Правильно записывает хотя бы один из интегралов для площади или объёма, но не вычисляет верно ни одну из двух величин. | 0 б.: Не записывает ни одного верного интеграла для требуемых величин и не приводит верного обоснованного вычисления.

Тест по математике, 12 класс: Определённый интеграл. Приложения

Часть I

Часть II

Часть III