Test sumativ Matematică, clasa a 12-a: Polinoame în mulțimea numerelor complexe*

Itemi

1. 15 p
   Fie polinomul $P(X) = X^{3} - 3X^{2} + 4X - 12 \in ℂ[X]$. Știind că $x_{1} = 2i$ este o rădăcină a polinomului $P(X)$, care sunt celelalte rădăcini ale acestuia?
   • A)$-2i$ și $3$
   • B)$2i$ și $-3$
   • C)$-2i$ și $-3$
   • D)$2$ și $3i$
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: A) $-2i$ și $3$

2. 25 p
   Fie polinomul $P(X) = X^{3} - 6X^{2} + 11X - 6 \in ℂ[X]$ cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}, x_{3}$. Care este valoarea expresiei $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}}$?
   • A)$\frac{6}{11}$
   • B)$\frac{11}{6}$
   • C)$6$
   • D)$-\frac{11}{6}$
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: B) $\frac{11}{6}$

3. 35 p
   O sferă este circumscrisă unui cub cu latura de lungime $a = 4 cm$. Care este raza $R$ a acestei sfere?
   • A)$2\sqrt{3} cm$
   • B)$4\sqrt{3} cm$
   • C)$2\sqrt{2} cm$
   • D)$4 cm$
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: A) $2\sqrt{3} cm$

4. 45 p
   Un cilindru circular drept este înscris într-o sferă cu raza $R = 5 cm$. Știind că înălțimea cilindrului este $h = 8 cm$, care este raza $r$ a bazei cilindrului?
   • A)$4 cm$
   • B)$3 cm$
   • C)$\sqrt{41} cm$
   • D)$2.5 cm$
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: B) $3 cm$

5. 55 p
   Care este restul împărțirii polinomului $P(X) = X^{100} + X^{50} + 1$ la polinomul $Q(X) = X^{2} + 1$ în $ℂ[X]$?
   • A)$X + 1$
   • B)$0$
   • C)$1$
   • D)$-1$
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: C) $1$

6. 65 p
   Un con circular drept are raza bazei $r = 6 cm$ și generatoarea $g = 10 cm$. Care este raza $R$ a sferei circumscrise acestui con?
   • A)$6.25 cm$
   • B)$5 cm$
   • C)$8 cm$
   • D)$7.5 cm$
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: A) $6.25 cm$

7. 75 p
   Dacă un polinom $P(X) \in ℝ[X]$ are rădăcina complexă $z = 1 + 2i$, atunci el admite obligatoriu și rădăcina conjugată $\bar{z} = 1 - 2i$.
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: Adevărat

8. 85 p
   Într-o sferă de rază $R$, volumul unui cub înscris în aceasta este mai mare decât volumul sferei.
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: Fals

9. 95 p
   Fie polinomul $P(X) = X^{4} - 4X^{3} + 6X^{2} - 4X + 1 \in ℂ[X]$. Calculați valoarea numerică a lui $P(i + 1)$.
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: 1

10. 105 p
    Un cilindru circular drept este circumscris unei sfere cu raza $R = 3 cm$ (sfera este tangentă ambelor baze și suprafeței laterale a cilindrului). Calculați volumul cilindrului împărțit la $π$.
    Vezi răspunsul și baremul

    Răspuns: 54