Test sumativ Matematică, clasa a 11-a: Șiruri de numere reale

Itemi

1. 15 p
   Care este limita șirului $a_{n} = \frac{3n^{2} - 2n + 1}{5n^{2} + 4n - 3}$ când $n \to \infty$?
   • A)$\frac{3}{5}$
   • B)$0$
   • C)$+\infty$
   • D)$-\frac{1}{3}$
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: A) $\frac{3}{5}$

2. 25 p
   Calculați limita șirului de numere reale $b_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{2n}$ pentru $n \to \infty$.
   • A)$e$
   • B)$e^{2}$
   • C)$\sqrt{e}$
   • D)$1$
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: B) $e^{2}$

3. 35 p
   Calculați valoarea limitei de funcții $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{2x}$.
   • A)$1$
   • B)$2$
   • C)$4$
   • D)$0$
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: B) $2$

4. 45 p
   Se consideră funcția $f: ℝ \setminus \{3\} \to ℝ$, $f(x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$. Care este valoarea limitei $\lim_{x \to 3} f(x)$?
   • A)$0$
   • B)$3$
   • C)$6$
   • D)Nu există
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: C) $6$

5. 55 p
   Fie funcția derivabilă $f: ℝ o ℝ$, definita prin $f(x) = x \cdot e^x$. Determinați valoarea derivatei $f'(1)$.
   • A)$e$
   • B)$2e$
   • C)$0$
   • D)$e^{2}$
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: B) $2e$

6. 65 p
   Determinați punctele de extrem local pentru funcția $f: ℝ o ℝ$, $f(x) = x^{3} - 3x$.
   • A)$x = -1$ este punct de maxim local, iar $x = 1$ este punct de minim local
   • B)$x = 0$ este punct de minim local, iar $x = 3$ este punct de maxim local
   • C)$x = 1$ este punct de maxim local, iar $x = -1$ este punct de minim local
   • D)Funcția nu are puncte de extrem local
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: A) $x = -1$ este punct de maxim local, iar $x = 1$ este punct de minim local

7. 75 p
   Dacă o funcție $f: [a, b] o ℝ$ este continuă pe intervalul $[a, b]$ și satisface condiția $f(a) \cdot f(b) < 0$, atunci există cel puțin un punct $c \in (a, b)$ astfel încât $f(c) = 0$.
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: Adevărat

8. 85 p
   Dacă o funcție $f$ este continuă într-un punct $x_{0}$, atunci ea este în mod obligatoriu derivabilă în punctul $x_{0}$.
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: Fals

9. 95 p
   Calculați valoarea limitei $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$.
   Vezi răspunsul și baremul

   Răspuns: 4

10. 105 p
    Determinați panta tangentei la graficul funcției $f(x) = x^{2} - 4x + 5$ în punctul de abscisă $x_{0} = 3$.
    Vezi răspunsul și baremul

    Răspuns: 2