Тест по математике, 11 класс: Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений

Question 1

Какая из приведённых ниже матриц является верхнетреугольной? A) 2 0 0; 3 1 0; 4 5 6; B) 2 3 4; 0 1 5; 0 0 6; C) 2 3 0; 1 4 5; 0 0 6; D) 0 0 2; 0 1 3; 6 4 5

Accepted Answer

B) 2 3 4; 0 1 5; 0 0 6

Question 2

Матрица A имеет 2 строки и 3 столбца, а матрица B имеет 3 строки и 4 столбца. Каковы размеры произведения AB? A) 3 строки и 3 столбца; B) 4 строки и 2 столбца; C) 2 строки и 4 столбца; D) 2 строки и 3 столбца

Accepted Answer

C) 2 строки и 4 столбца

Question 3

Каково необходимое и достаточное условие того, чтобы квадратная матрица A была обратимой? A) det A=0; B) det A≠0; C) det A>0; D) det A=1

Accepted Answer

B) det A≠0

Question 4

В правиле Крамера пусть Δ — определитель матрицы системы, причём Δ≠0. Как получить определитель Δ_j, используемый при вычислении неизвестной x_j? A) Строку j матрицы системы заменяют строкой свободных членов.; B) Столбец j матрицы системы заменяют нулевым столбцом.; C) Из матрицы системы удаляют строку j и столбец j.; D) Столбец j матрицы системы заменяют столбцом свободных членов.

Accepted Answer

D) Столбец j матрицы системы заменяют столбцом свободных членов.

Question 5

Определите истинность утверждения: перестановка двух строк определителя всегда сохраняет значение определителя.

Accepted Answer

Неверно

Question 6

Определите истинность утверждения: любая однородная система линейных уравнений имеет решение, в котором все неизвестные равны 0.

Accepted Answer

Верно

Question 7

Запишите подходящее число: квадратная матрица A обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от ………… …………

Accepted Answer

0

Question 8

Вычислите определитель и запишите равенство: 2 0 01 3 10 2 2= ………… …………

Accepted Answer

8

Question 9

Дано матричное уравнение 2 10 3xy=79. Запишите: значение неизвестной x равно ………… …………

Accepted Answer

2

Question 10

Даны матрицы A=2 11 1 и B=74. Решите матричное уравнение AX=B, вычислив и использовав обратную матрицу для A.

Accepted Answer

X=3; 1. — 12 б.: Вычисляет определитель и обосновывает обратимость: 3 балла. Правильно находит обратную матрицу: 4 балла. Записывает соотношение X=A⁻¹B: 2 балла. Правильно вычисляет произведение и получает искомую матрицу: 3 балла. | 9 б.: Правильно вычисляет определитель и обратную матрицу и записывает соотношение X=A⁻¹B, но неверно вычисляет произведение. | 7 б.: Правильно вычисляет определитель и обратную матрицу, без дальнейшего верного решения. | 3 б.: Правильно вычисляет определитель и обосновывает обратимость, без других верных шагов. | 0 б.: Не приводит ни одного верного шага или не отвечает.

Question 11

Рассмотрим систему x+y=3,y+z=5,x+az=7, где a∈ℝ. Определите значения параметра a, при которых система имеет единственное решение, используя определитель матрицы системы. Затем решите систему при a=2.

Accepted Answer

Система имеет единственное решение при a∈ℝ∖{-1}. При a=2 решение: (x,y,z)=(1,2,3). — 14 б.: Правильно записывает матрицу системы: 2 балла. Вычисляет определитель D=a+1: 3 балла. Применяет условие D≠0 и получает a≠-1: 3 балла. При a=2 выражает y=5-z и x=z-2: 2 балла. Получает z=3: 2 балла. Получает y=2 и x=1: по 1 баллу. | 12 б.: Правильно решает задание о параметре, выражает неизвестные через z и получает z=3, но неверно находит две другие неизвестные. | 8 б.: Записывает матрицу, вычисляет определитель и правильно находит значения параметра, без решения системы при заданном значении. | 6 б.: Правильно решает только систему при a=2, приводя вычисления. | 5 б.: Правильно записывает матрицу и вычисляет определитель, без дальнейшего верного решения. | 2 б.: Правильно записывает только матрицу системы. | 0 б.: Не приводит ни одного верного шага или не отвечает.

Тест по математике, 11 класс: Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений

Часть I

Часть II

Часть III