Simulare Bacalaureat — Matematică (M_mate-info)

Răspuns: $e=2$.

• 5 p — Scrierea condiției de element neutru: 2 puncte. Determinarea și verificarea elementului neutru: 3 puncte. Se acceptă orice metodă corectă.
• 2 p — Scrie corect condiția de element neutru, dar nu finalizează determinarea și verificarea.
• 0 p — Nu prezintă niciun demers corect.

Răspuns: $(\widehat{2})^{-1}=\widehat{3}$.

• 5 p — Scrierea condiției care definește inversul multiplicativ: 2 puncte. Identificarea și justificarea inversului: 3 puncte. Se acceptă orice metodă corectă.
• 2 p — Scrie corect condiția pentru inversul multiplicativ, fără să o finalizeze.
• 0 p — Nu prezintă niciun demers corect.

Răspuns: $r=3$.

• 5 p — Identificarea restului ca fiind valoarea $P(1)$: 2 puncte. Calcularea corectă a restului: 3 puncte. Se acceptă orice metodă corectă, inclusiv împărțirea polinoamelor.
• 2 p — Scrie $r=P(1)$, dar nu calculează corect valoarea.
• 0 p — Nu prezintă niciun demers corect.

Răspuns: $F(x)=\frac{x^{3}}{3}+C$, unde $C\in ℝ$.

• 5 p — Determinarea unei primitive, $\frac{x^{3}}{3}$: 3 puncte. Scrierea familiei complete, cu o constantă reală arbitrară: 2 puncte. Se acceptă orice metodă corectă.
• 3 p — Determină corect o primitivă, dar nu precizează familia tuturor primitivelor.
• 0 p — Nu prezintă niciun demers corect.

Răspuns: $∫_{0}^{1}2f(x)\,dx=6$.

• 5 p — Aplicarea corectă a liniarității integralei: 3 puncte. Înlocuirea valorii date și obținerea rezultatului: 2 puncte. Se acceptă orice metodă corectă.
• 3 p — Scrie corect $∫_{0}^{1}2f(x)\,dx=2∫_{0}^{1}f(x)\,dx$, fără să finalizeze corect calculul.
• 0 p — Nu prezintă niciun demers corect.

Răspuns: $A=4$ unități de arie.

• 5 p — Stabilirea semnului funcției și exprimarea ariei prin integrala corespunzătoare: 2 puncte. Determinarea unei primitive: 2 puncte. Evaluarea corectă la capete: 1 punct. Se acceptă orice metodă corectă.
• 4 p — Exprimă corect aria prin integrală și determină o primitivă, dar nu finalizează corect evaluarea.
• 2 p — Exprimă corect aria prin integrală, dar nu determină corect o primitivă.
• 0 p — Nu prezintă niciun demers corect.

Răspuns: $A(1,2)A(2,-1)=A(4,3)$.

• 5 p — Scrierea corectă a matricelor: 1 punct; calculul produsului: 3 puncte; identificarea rezultatului ca $A(4,3)$: 1 punct. Orice metodă corectă primește punctaj integral.
• 4 p — Scrie corect matricele și calculează corect produsul, fără identificarea parametrilor.
• 1 p — Scrie corect cele două matrice, fără alte etape corecte.
• 0 p — Nu realizează nicio etapă corectă.

Răspuns: $A(1,1)^{-1}=A(\frac12,-\frac12)$.

• 5 p — Stabilirea ecuației pentru invers și a sistemului: 2 puncte; rezolvarea sistemului: 2 puncte; precizarea inversului: 1 punct. Orice metodă corectă primește punctaj integral.
• 4 p — Stabilește sistemul și îl rezolvă corect, fără precizarea matricei inverse.
• 2 p — Stabilește corect sistemul pentru parametrii inversului.
• 0 p — Nu realizează nicio etapă corectă.

Răspuns: $B\in \{A(0,1),A(0,-1)\}$.

• 5 p — Calculul pătratului: 2 puncte; stabilirea sistemului: 1 punct; rezolvarea sistemului și precizarea tuturor soluțiilor: 2 puncte. Orice metodă corectă primește punctaj integral.
• 3 p — Calculează corect pătratul și stabilește sistemul, fără rezolvarea completă.
• 2 p — Calculează corect pătratul matricei.
• 0 p — Nu realizează nicio etapă corectă.

Răspuns: Câtul este $Q=X$, iar restul este $R=2$.

• 5 p — Determinarea câtului: 2 puncte; calculul restului: 2 puncte; scrierea identității împărțirii: 1 punct. Orice metodă corectă primește punctaj integral.
• 4 p — Determină corect câtul și restul, fără scrierea identității împărțirii.
• 2 p — Determină corect doar câtul sau doar restul.
• 0 p — Nu realizează nicio etapă corectă.

Răspuns: $F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+1$, pentru orice $x\in ℝ$.

• 5 p — Determinarea familiei primitivelor: 3 puncte; folosirea condiției și determinarea constantei: 1 punct; precizarea primitivei cerute: 1 punct. Orice metodă corectă primește punctaj integral.
• 4 p — Determină familia primitivelor și constanta, fără scrierea rezultatului final.
• 3 p — Determină corect familia primitivelor, fără folosirea condiției date.
• 1 p — Calculează corect primitiva unuia dintre termenii funcției, fără alte etape corecte.
• 0 p — Nu realizează nicio etapă corectă.

Răspuns: $\displaystyle∫_{0}^{1}f(x)\,dx=\frac56$.

• 5 p — Determinarea unei primitive: 2 puncte; aplicarea formulei Leibniz–Newton: 2 puncte; calculul rezultatului: 1 punct. Orice metodă corectă primește punctaj integral.
• 4 p — Determină o primitivă și aplică corect formula Leibniz–Newton, dar greșește calculul numeric final.
• 2 p — Determină corect o primitivă, fără aplicarea corectă a formulei Leibniz–Newton.
• 0 p — Nu realizează nicio etapă corectă.

Răspuns: $A=4$ unități de arie.

• 5 p — Justificarea pozitivității funcției și scrierea integralei ariei: 2 puncte. Determinarea unei primitive: 2 puncte. Evaluarea corectă și rezultatul: 1 punct. Se acceptă orice metodă corectă.
• 2 p — Scrie corect integrala care exprimă aria, dar nu continuă calculul.
• 4 p — Scrie corect integrala și o primitivă, dar greșește evaluarea finală.
• 0 p — Nu prezintă niciun element corect de rezolvare.

Răspuns: $\frac{7}{3}$.

• 5 p — Identificarea funcției continue și a sumei Riemann pe intervalul corespunzător: 2 puncte. Exprimarea limitei prin integrală și determinarea unei primitive: 2 puncte. Evaluarea integralei: 1 punct. Se acceptă orice metodă corectă care folosește o integrală definită.
• 2 p — Identifică suma Riemann pentru funcția corectă pe intervalul corect, fără calculul integralei.
• 4 p — Exprimă corect limita prin integrală și determină o primitivă, dar greșește evaluarea.
• 0 p — Nu prezintă niciun element corect de rezolvare.

Răspuns: $\varphi(x)=x+1$ este un izomorfism; $x\star y=\varphi^{-1}(\varphi(x)\varphi(y))$.

• 5 p — Demonstrarea bijectivității: 2 puncte. Verificarea stabilității și a compatibilității cu operațiile: 2 puncte. Justificarea structurii de grup și concluzia de izomorfism: 1 punct. Se acceptă și verificarea directă a axiomelor.
• 2 p — Demonstrează numai bijectivitatea aplicației.
• 4 p — Demonstrează bijectivitatea, stabilitatea și compatibilitatea, fără să justifice structura de grup.
• 0 p — Nu prezintă niciun element corect de rezolvare.

Răspuns: $\Phi$ este un morfism surjectiv de inele, dar nu este injectiv, deoarece $\Phi(P)=\Phi(0)=0$ și $P\ne 0$.

• 5 p — Verificarea compatibilității cu adunarea, înmulțirea și elementul unitate: 2 puncte. Demonstrarea surjectivității: 1 punct. Contraexemplu corect pentru injectivitate și concluzie: 2 puncte. Se acceptă orice metodă corectă.
• 2 p — Verifică numai proprietățile de morfism.
• 3 p — Demonstrează că aplicația este morfism surjectiv, fără să justifice lipsa injectivității.
• 0 p — Nu prezintă niciun element corect de rezolvare.

Răspuns: $1$ este rădăcină dublă, iar $-2$ este rădăcină simplă.

• 5 p — Identificarea rădăcinii și folosirea teoremei lui Bézout: 1 punct. Obținerea câtului și descompunerea completă în factori: 3 puncte. Precizarea rădăcinilor și a multiplicităților: 1 punct. Se acceptă orice metodă corectă.
• 1 p — Identifică rădăcina $1$, fără continuarea rezolvării.
• 3 p — Obține $P=(X-1)(X^{2}+X-2)$, dar nu finalizează descompunerea.
• 4 p — Obține descompunerea completă, dar nu precizează multiplicitățile.
• 0 p — Nu prezintă niciun element corect de rezolvare.

Răspuns: $F(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{3x^{2}}{2}+2x$, iar $F(x)\ge 0$ pentru orice $x\ge 0$.

• 5 p — Determinarea formei generale a primitivelor: 2 puncte. Folosirea condiției inițiale: 1 punct. Justificarea semnului derivatei și deducerea inegalității: 2 puncte. Se acceptă orice metodă corectă.
• 2 p — Determină numai forma generală a primitivelor.
• 3 p — Determină corect primitiva cerută, fără demonstrarea inegalității.
• 4 p — Determină primitiva și justifică semnul derivatei, dar nu deduce explicit inegalitatea cerută.
• 0 p — Nu prezintă niciun element corect de rezolvare.